Université de Cergy-Pontoise 2006/2007 Licence L3 de Mathématiques.

Rattrapage de Probabilités (durée 2 heures)

Question de cours.

- Quelle est la différence entre une variable aléatoire (en abrégé v.a.) discrète et une v.a. absolument continue ?

- Donner des exemples (le maximum possible parmi les exemples classiques) de chacun des deux types de v.a.

Exercice 1 – On donne dans le tableau suivant la loi du couple aléatoire (X, Y)

\begin{matrix}\begin{aligned}& X \\ Y \end{aligned} & 0 & 1 & 2 & 3 \\ −1 & 7/60 & 1/30 & 1/12 & 1/10 \\ 0 & 1/20 & 1/20 & 1/12 & 3/20 \\ 1 & 1/12 & 1/12 & 1/12 & 1/12 \end{matrix}

1– Donner les lois des variables X et Y, puis calculer leurs espérances et variances respectives. 2– Calculer la covariance de X et Y. Sont-elles indépendantes ? 3– Calculer la probabilité des événements A = {X = Y }, B = {XY = 0}. 4– Donner l’espérance et la variance de la variable aléatoire Z = X + Y sans calculer sa loi. 5– Donner la loi de la variable aléatoire Z.

Exercice 2.– Soit (X, Y) un couple de variables aléatoires de densité :

f(x, y) = \frac{1}{4}(1 + xy(x^{2} − y^{2}))1_{]−1,1[}(x)1_{]−1,1[}(y).

1) Vérifier qu’il s’agit bien d’une densité de probabilité.

2) Calculer une densité de X, une densité de Y.

3) Calculer E(X) et E(Y).

4) Calculer Cov(X,Y).

5) X et Y sont-elles indépendantes ?

6) Soit Y = X^{3}. Calculer une densité de Y ?

Exercice 3.– Une enquête a permis d’estimer qu’une mauvaise réaction à l’injection d’un vaccin a une probabilité de 0, 01.

1) Construire une v.a. à partir des deux états possibles pour chaque injection de vaccin (noter X_{i} la v.a. correspondant à la i-ième injection).

2) Quelle est la loi de probabilité de chacune des X_{i}, son espérance et sa variance ?

3) On considère maintenant n injections.

a) Construire une v.a. S qui représente le nombre de mauvaises réactions.

b) Quelle est sa loi (exacte), son espérance et sa variance (justifier votre réponse : on pourra par exemple utiliser les fonctions génératrices).

c) Pour n = 200, par une approximation convenable de la loi de S et que l’on devra justifier, déterminer la probabilité que plus de 3 individus aient une mauvaise réaction.