Université de Cergy-Pontoise 2005/2006 Licence L3 de Mathématiques.

Examen de Probabilités (durée 3 heures)

Questions de cours.

1) Rappeler les définitions des lois de probabilités suivantes en précisant pour chacune d’elles les paramètres dont elle dépend, et en indiquant s’il s’agit d’une loi discrète ou non : a- Bernouilli, b- Binomiale, c- Poisson, d- Géométrique, e- hypergéometrique f- Uniforme sur un intervalle, g- Gamma, h- Exponentielle, i- Normale.

2) Dans un espace probabilisé (Ω, F, ℙ), énoncer la formule donnant la probabilité de la réunion de n évènements.

Exercice 1.– Une urne contient 3 pièces équilibrées dont une a deux "face". on prend une pièce au hasard et on effectue des lancers de cette pièce.

1) Calculer la probabilité d’obtenir "Pile" au premier coup.

2) Calculer la probabilité d’obtenir n fois "Face" de suite.

3) Sachant que l’on a obtenu n fois "Face" de suite, quelle est la probabilité que l’on ait pris la pièce truquée ? Quelle est sa limite lorsque n tend vers l’infini ?

4) On lance la pièce choisie n fois. Calculer la probabilité de l’évènement "on est sûr que la pièce utilisée est une pièce honnête " ?

5) Que devient cette probabilité lorsque n est grand ? Commenter le résultat.

Exercice 2.– Soient X et Y deux v.a. réelles et indépendantes de même loi de densité

f(x) = \frac{1}{x^{2}} 1_{]1,+∞[}(x).

1) Soit α > 0. Calculer E(X^{α}).

2) Calculer une densité de la variable aléatoire ln X. Identifier sa loi puis rappeler (ou calculer !) son espérance.

3) Soit Z = inf(X, Y). Calculer ℙ(Z > t) et en déduire une densité de Z.

4) On pose U = X.Y.

a) Calculer une densité du couple (U, Y) ? On précisera soigneusement le domaine dans lequel le couple (U, Y) prend ses valeurs.

b) En déduire une densité de U puis une densité conditionnelle de Y sachant que U = u.

5) On pose V = \frac{X}{Y} .

a) Quelle est la densité du couple (U, V) ? Les variables aléatoires U et V sont-elles indépendantes ?

b) En déduire la densité de V.

c) Calculer 𝔼(\frac{1}{U\sqrt{V}} ).

6) Si X_{1}, X_{2}, …, X_{n}, … est une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi que X, montrer que la suite de variables aléatoires (X_{1} + X_{2} + … + X_{n})^{\frac{1}{n}} converge presque sûrement quand n tend vers l’infini vers une limite qu’on déterminera.

Exercice 3.– (Dans cet exercice, on pourra se servir de la table donnée en annexe) Un restaurateur est chargé de préparer des repas pour n = 2000 personnes ; ces repas se subdivisent en deux menus A et B. Le restaurateur fait l’hypothèse que le menu A est choisi avec probabilité \frac{1}{4} et le menu B avec probabilité \frac{3}{4}, les choix étant indépendants les uns des autres.

1) Introduire pour le i-ième client, i = 1, …, n, une variable aléatoire X_{i} qui modélise son choix ou non du menu A. Rappeler sans calculs sa loi, son espérance et sa variance. Calculer sa fonction génératrice.

2) Soit S le nombre aléatoire de menus A et T le nombre de menus B, demandés par les clients.

a) Exprimer la v.a. S en fonction des v.a. X_{i}.

b) En déduire la fonction génératrice, puis la loi de S.

c) Quelle est la loi de la v.a. T ?

d) Calculer les espérances et variances de S et T.

e) Donner une equation qui établit une relation entre les v.a. S et T. En déduire Cov(S, T).

3) Quelle est la loi à densité qui approche celle de S en considérant que le nombre de clients n est très grand ? (justifier votre réponse).

4) En déduire le nombre minimum α de menus A que doit préparer le restaurateur s’il veut avoir une probabilité inférieure à 0, 1 pour que ce nombre soit insuffisant.

5) Même question concernant le nombre β de menus B.

6) En supposant que α, β soient les valeurs choisies plus haut quelle est la probabilité que le restaurateur ne puisse satisfaire tous les clients ? ———————- Annexe :

Intégrale Π(t) de la Loi Normale Centrée Réduite N (0; 1).

Π(t) = P (X ≤ t) = ∫_{−∞}^{t} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{− \frac{x^{2}}{2}} dx et Π(−t) = 1 − Π(t).

\begin{matrix}t & 0.00 & 0.01 & 0.02 & 0.03 & 0.04 & 0.05 & 0.06 & 0.07 & 0.08 & 0.09 \\ 0.0 & 0.5000 & 0.5040 & 0.5080 & 0.5120 & 0.5160 & 0.5199 & 0.5239 & 0.5279 & 0.5319 & 0.5359 \\ 0.1 & 0.5398 & 0.5438 & 0.5478 & 0.5517 & 0.5557 & 0.5596 & 0.5636 & 0.5675 & 0.5714 & 0.5753 \\ 0.2 & 0.5793 & 0.5832 & 0.5871 & 0.5910 & 0.5948 & 0.5987 & 0.6026 & 0.6064 & 0.6103 & 0.6141 \\ 0.3 & 0.6179 & 0.6217 & 0.6255 & 0.6293 & 0.6331 & 0.6368 & 0.6406 & 0.6443 & 0.6480 & 0.6517 \\ 0.4 & 0.6554 & 0.6591 & 0.6628 & 0.6664 & 0.6700 & 0.6736 & 0.6772 & 0.6808 & 0.6844 & 0.6879 \\ 0.5 & 0.6915 & 0.6950 & 0.6985 & 0.7019 & 0.7054 & 0.7088 & 0.7123 & 0.7157 & 0.7190 & 0.7224 \\ 0.6 & 0.7257 & 0.7291 & 0.7324 & 0.7357 & 0.7389 & 0.7422 & 0.7454 & 0.7486 & 0.7517 & 0.7549 \\ 0.7 & 0.7580 & 0.7611 & 0.7642 & 0.7673 & 0.7704 & 0.7734 & 0.7764 & 0.7794 & 0.7823 & 0.7852 \\ 0.8 & 0.7881 & 0.7910 & 0.7939 & 0.7967 & 0.7995 & 0.8023 & 0.8051 & 0.8078 & 0.8106 & 0.8133 \\ 0.9 & 0.8159 & 0.8186 & 0.8212 & 0.8238 & 0.8264 & 0.8289 & 0.8315 & 0.8340 & 0.8365 & 0.8389 \\ 1.0 & 0.8413 & 0.8438 & 0.8461 & 0.8485 & 0.8508 & 0.8531 & 0.8554 & 0.8577 & 0.8599 & 0.8621 \\ 1.1 & 0.8643 & 0.8665 & 0.8686 & 0.8708 & 0.8729 & 0.8749 & 0.8770 & 0.8790 & 0.8810 & 0.8830 \\ 1.2 & 0.8849 & 0.8869 & 0.8888 & 0.8907 & 0.8925 & 0.8944 & 0.8962 & 0.8980 & 0.8997 & 0.9015 \\ 1.3 & 0.9032 & 0.9049 & 0.9066 & 0.9082 & 0.9099 & 0.9115 & 0.9131 & 0.9147 & 0.9162 & 0.9177 \\ 1.4 & 0.9192 & 0.9207 & 0.9222 & 0.9236 & 0.9251 & 0.9265 & 0.9279 & 0.9292 & 0.9306 & 0.9319 \\ 1.5 & 0.9332 & 0.9345 & 0.9357 & 0.9370 & 0.9382 & 0.9394 & 0.9406 & 0.9418 & 0.9429 & 0.9441 \\ 1.6 & 0.9452 & 0.9463 & 0.9474 & 0.9484 & 0.9495 & 0.9505 & 0.9515 & 0.9525 & 0.9535 & 0.9545 \\ 1.7 & 0.9554 & 0.9564 & 0.9573 & 0.9582 & 0.9591 & 0.9599 & 0.9608 & 0.9616 & 0.9625 & 0.9633 \\ 1.8 & 0.9641 & 0.9649 & 0.9656 & 0.9664 & 0.9671 & 0.9678 & 0.9686 & 0.9693 & 0.9699 & 0.9706 \\ 1.9 & 0.9713 & 0.9719 & 0.9726 & 0.9732 & 0.9738 & 0.9744 & 0.9750 & 0.9756 & 0.9761 & 0.9767 \end{matrix}